Задача 14. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c.\) Найдите \(f\left( {10} \right).\)
ОТВЕТ: 64.
Парабола проходит через точки \(\left( {3;1} \right)\), \(\left( {4; — 2} \right)\) и \(\left( {6;4} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 9a + 3b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 2 = 16a + 4b + c}\\{4 = 36a + 6b + c}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(3 = — 7a — b\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 3 = — 27a — 3b\left| {:\left( { — 3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 = 9a + b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = — 7a — b}\\{1 = 9a + b}\end{array}} \right.\)
Прибавим к первому уравнению второе: \(4 = 2a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 2.\)
Тогда: \(3 = — 7 \cdot 2 — b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = — 17\) и \(1 = 9 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { — 17} \right) + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 34.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = 2{x^2} — 17x + 34\) и \(f\left( {10} \right) = 2 \cdot {10^2} — 17 \cdot 10 + 34 = 64.\)
Ответ: 64.