Задача 15. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c.\) Найдите \(f\left( 2 \right).\)
ОТВЕТ: — 33.
1 Способ
Парабола проходит через точки \(\left( { — 2; — 1} \right)\), \(\left( { — 5;2} \right)\) и \(\left( { — 6; — 1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2 = 25a — 5b + c\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 1 = 36a — 6b + c\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 3 = — 21a + 3b\left| {:3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 1 = — 7a + b} \right..\)
Вычтем из первого уравнения третье: \(0 = — 32a + 4b\left| {:4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 = — 8a + b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = — 7a + b}\\{0 = — 8a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 1 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 1.\)
Тогда: \( — 1 = — 7 \cdot \left( { — 1} \right) + b\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,b = — 8\) и \( — 1 = 4 \cdot \left( { — 1} \right) — 2 \cdot \left( { — 8} \right) + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c = — 13.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = — {x^2} — 8x — 13\) и \(f\left( 2 \right) = -{2^2} — 8 \cdot 2 — 13 = — 33.\)
Ответ: – 33.
2 Способ
Заметим, что графиком является парабола \(f\left( x \right) = — {x^2}\) вершина которой находится в точке \(\left( { — 4;3} \right)\). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: \(f\left( x \right) = — {\left( {x + 4} \right)^2} + 3\) и \(f\left( 2 \right) = — {\left( {2 + 4} \right)^2} + 3 = — 33.\)
Ответ: – 33.