Задача 15. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c.\)  Найдите  \(f\left( 2 \right).\)

Ответ

ОТВЕТ: — 33.

Решение

1 Способ

Парабола проходит через точки \(\left( { — 2; — 1} \right)\), \(\left( { — 5;2} \right)\) и \(\left( { — 6; — 1} \right)\). Следовательно:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2 = 25a — 5b + c\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 1 = 36a — 6b + c\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:  \( — 3 =  — 21a + 3b\left| {:3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 1 =  — 7a + b} \right..\)

Вычтем из первого уравнения третье:  \(0 =  — 32a + 4b\left| {:4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 =  — 8a + b} \right..\)

Таким образом, получим систему уравнений:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 =  — 7a + b}\\{0 =  — 8a + b}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:  \( — 1 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a =  — 1.\)

Тогда: \( — 1 =  — 7 \cdot \left( { — 1} \right) + b\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,b =  — 8\)   и   \( — 1 = 4 \cdot \left( { — 1} \right) — 2 \cdot \left( { — 8} \right) + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c =  — 13.\)

Следовательно, уравнение параболы имеет вид:

\(f\left( x \right) =  — {x^2} — 8x — 13\)   и   \(f\left( 2 \right) = -{2^2} — 8 \cdot 2 — 13 =  — 33.\)

Ответ: – 33.

2 Способ

Заметим, что графиком является парабола \(f\left( x \right) =  — {x^2}\) вершина которой находится в точке \(\left( { — 4;3} \right)\). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: \(f\left( x \right) =  — {\left( {x + 4} \right)^2} + 3\)    и    \(f\left( 2 \right) =  — {\left( {2 + 4} \right)^2} + 3 =  — 33.\)

Ответ: – 33.