Задача 16. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c.\) Найдите \(f\left( { — 1} \right).\)
ОТВЕТ: — 50.
Парабола проходит через точки \(\left( {3;2} \right)\), \(\left( {4;5} \right)\) и \(\left( {5;4} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 9a + 3b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{5 = 16a + 4b + c\,\,\,\,\,\,}\\{4 = 25a + 5b + c\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 3 = — 7a — b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 2 = — 16a — 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — \,1 = — 8a — b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = — 7a — b}\\{ — 1 = — 8a — b}\end{array}} \right.\)
Прибавим к первому уравнению второе: \( — 2 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 2.\)
Тогда: \( — 3 = — 7 \cdot \left( { — 2} \right) — b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = 17\) и \(2 = 9 \cdot \left( { — 2} \right) + 3 \cdot 17 + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c = — 31.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = — 2{x^2} + 17x — 31\) и \(f\left( { — 1} \right) = — 2 \cdot {\left( { — 1} \right)^2} + 17 \cdot \left( { — 1} \right) — 31 = — 50.\)
Ответ: – 50.