Задача 17. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) где a, b и c – целые. Найдите \(f\left( 2 \right).\)
ОТВЕТ: 41.
Парабола проходит через точки \(\left( { — 2; — 3} \right)\), \(\left( { — 3; — 4} \right)\) и \(\left( { — 4; — 1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = 4a — 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 4 = 9a — 3b + c\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 1 = 16a — 4b + c\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(1 = — 5a + b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 2 = — 12a + 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — \,1 = — 6a + b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = — 5a + b}\\{ — 1 = — 6a + b}\end{array}} \right.\)
Прибавим к первому уравнению второе: \(2 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 2.\)
Тогда: \(1 = — 5 \cdot 2 + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 11\) и \( — 3 = 4 \cdot 2 — 2 \cdot 11 + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 11.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = 2{x^2} + 11x + 11\) и \(f\left( 2 \right) = 2 \cdot {2^2} + 11 \cdot 2 + 11 = 41.\)
Ответ: 41.