Задача 18. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) где a, b и c – целые. Найдите \(f\left( { — 1} \right).\)
ОТВЕТ: 34.
1 Способ
Парабола проходит через точки \(\left( {3;2} \right)\), \(\left( {4; — 1} \right)\) и \(\left( {5; — 2} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 9a + 3b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 1 = 16a + 4b + c\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 2 = 25a + 5b + c\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(3 = -7a — b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \(4 = — 16a — 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2 = — 8a — b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = — 7a — b}\\{2 = — 8a — b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(1 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\)
Тогда: \(3 = — 7 — b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = — 10\) и \(2 = 9 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { — 10} \right) + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c = 23.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = {x^2} — 10x + 23\) и \(f\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1} \right)^2} — 10 \cdot \left( { — 1} \right) + 23 = 34.\)
Ответ: 34.
2 Способ
Заметим, что графиком является парабола \(f\left( x \right) = {x^2}\), вершина которой находится в точке \(\left( {5; — 2} \right)\). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид: \(f\left( x \right) = {\left( {x — 5} \right)^2} — 2\) и \(f\left( { — 1} \right) = {\left( { — 1 — 5} \right)^2} — 2 = 34.\)
Ответ: 34.