Задача 19. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) где a, b и c – целые. Найдите \(f\left( { — 8} \right).\)
ОТВЕТ: — 13.
1 Способ
Парабола проходит через точки \(\left( { — 2; — 1} \right)\), \(\left( { — 3;2} \right)\) и \(\left( { — 4;3} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2 = 9a — 3b + c\,\,\,\,\,\,\,}\\{3 = 16a — 4b + c\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 3 = — 5a + b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 4 = — 12a + 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 2 = — 6a + b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = — 5a + b}\\{ — 2 = — 6a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 1 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 1.\)
Тогда: \( — 3 = — 5 \cdot \left( { — 1} \right) + b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = — 8\) и \( — 1 = 4 \cdot \left( { — 1} \right) — 2 \cdot \left( { — 8} \right) + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,c = — 13.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = — {x^2} — 8x — 13\) и \(f\left( { — 8} \right) = — {\left( { — 8} \right)^2} — 8 \cdot \left( { — 8} \right) — 13 = — 13.\)
Ответ: – 13.
2 Способ
Заметим, что графиком является парабола \(f\left( x \right) = — {x^2}\), вершина которой находится в точке \(\left( { — 4;3} \right)\). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид:
\(f\left( x \right) = — {\left( {x + 4} \right)^2} + 3\) и \(f\left( { — 8} \right) = — {\left( { — 8 + 4} \right)^2} + 3 = — 13.\)
Ответ: – 13.