Задача 20. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) где a, b и c – целые. Найдите \(f\left( { — 6} \right).\)
ОТВЕТ: — 10.
Парабола проходит через точки \(\left( { — 2;2} \right)\), \(\left( { — 3;5} \right)\) и \(\left( { — 4;4} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 4a — 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{5 = 9a — 3b + c\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4 = 16a — 4b + c\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 3 = — 5a + b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 2 = — 12a + 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 1 = — 6a + b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = — 5a + b}\\{ — 1 = — 6a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 2 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 2.\)
Тогда: \( — 3 = — 5 \cdot \left( { — 2} \right) + b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,b = — 13\) и \(2 = 4 \cdot \left( { — 2} \right) — 2 \cdot \left( { — 13} \right) + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = — 16.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = — 2{x^2} — 13x — 16\) и \(f\left( { — 6} \right) = — 2 \cdot {\left( { — 6} \right)^2} — 13 \cdot \left( { — 6} \right) — 16 = — 10.\)
Ответ: – 10.