Задача 21. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = 5x + 9\) и \(g\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ОТВЕТ: 6.
Парабола проходит через точки \(\left( { — 2; — 1} \right)\), \(\left( { — 1; — 3} \right)\) и \(\left( {1; — 1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 3 = a — b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 1 = a + b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = 3a — b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \(0 = 3a — 3b\left| {:3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 = a — b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 3a — b}\\{0 = a — b\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = 2a\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,a = 1.\)
Тогда: \(0 = 1 — b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 1\) и \( — 1 = 4 \cdot 1 — 2 \cdot 1 + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = — 3.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид: \(g\left( x \right) = {x^2} + x — 3.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой \(f\left( x \right) = 5x + 9\) и параболы \(g\left( x \right) = {x^2} + x — 3\) необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2} + x — 3}\\{y = 5x + 9\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} + x — 3 = 5x + 9\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} — 4x — 12 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 2,\,\,\,{x_2} = 6.\)
Значение \(x = — 2\) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 6.
Ответ: 6.