Задача 25. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = — 3x + 13\) и \(g\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
ОТВЕТ: 22.
Парабола проходит через точки \(\left( {1;2} \right)\), \(\left( {2;2} \right)\) и \(\left( {3;4} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = a + b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{2 = 4a + 2b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4 = 9a + 3b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(0 = — 3a — b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 2 = — 8a — 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — 1 = — 4a — b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = — 3a — b}\\{ — 1 = — 4a — b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(1 = a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\)
Тогда: \(0 = — 3 \cdot 1 — b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = — 3\) и \(2 = 1 — 3 + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 4.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид: \(g\left( x \right) = {x^2} — 3x + 4.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой \(f\left( x \right) = — 3x + 13\) и параболы \(g\left( x \right) = {x^2} — 3x + 4\) необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = {x^2} — 3x + 4}\\{y = — 3x + 13\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{x^2} — 3x + 4 = 13 — 3x\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{x^2} = 9\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{x_1} = 3,\,\,\,{x_2} = — 3\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{y_1} = 4,\,\,{y_2} = 22.\)
Следовательно, \(A\left( {3;4} \right)\) и \(B\left( { — 3;22} \right)\). Таким образом, ордината точки В равна 22.
Ответ: 22.