Задача 26. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = — 6x + 11\) и \(g\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
ОТВЕТ: 26.
Парабола проходит через точки \(\left( {1; — 2} \right)\), \(\left( {2; — 1} \right)\) и \(\left( {3;4} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = a + b + c}\\{ — 1 = 4a + 2b + c}\\{4 = 9a + 3b + c}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 1 = — 3a — b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 6 = — 8a — 2b\left| {:2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 3 = — 4a — b} \right..\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = — 3a — b}\\{ — 3 = — 4a — b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 2.\)
Тогда: \( — 1 = — 3 \cdot 2 — b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = — 5\) и \( — 2 = 2 — 5 + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 1.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид: \(g\left( x \right) = 2{x^2} — 5x + 1.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой \(f\left( x \right) = — 6x + 11\) и параболы \(g\left( x \right) = 2{x^2} — 5x + 1\) необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 2{x^2} — 5x + 1}\\{y = — 6x + 11\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,2{x^2} — 5x + 1 = — 6x + 11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{x^2} + x — 10 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,{x_2} = — \frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{y_1} = — 1,\,\,\,\,{y_2} = 26.\)
Следовательно, \(A\left( {2; — 1} \right)\) и \(B\left( { — \frac{5}{2};26} \right)\). Таким образом, ордината точки В равна 26.
Ответ: 26.