Задача 30. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = — 4{x^2} — 23x — 31\) и \(g\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ОТВЕТ: — 6.
График функции \(f\left( x \right) = — 4{x^2} — 23x — 31\) пересекает ось ординат в точке \(\left( {0; — 31} \right)\). Значит график функции \(y = f\left( x \right)\) изображен слева, а график \(g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) справа, который проходит через точки \(\left( { — 2; — 1} \right)\), \(\left( {1;5} \right)\) и \(\left( {2;3} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 4a — 2b + c}\\{5 = a + b + c\,\,\,\,\,\,}\\{3 = 4a + 2b + c}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 6 = 3a — 3b.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 4 = — 4b\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,b = 1.\)
Тогда: \( — 6 = 3a — 3\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = — 1\) и \( — 1 = — 4 — 2 + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 5.\)
Следовательно: \(g\left( x \right) = — {x^2} + x + 5.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = — 4{x^2} — 23x — 31}\\{y = — {x^2} + x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 4{x^2} — 23x — 31 = — {x^2} + x + 5\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3{x^2} + 24x + 36 = 0\left| {:3\,\,\,\, \Leftrightarrow \,} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x^2} + 8x + 12 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x_1} = — 2,\,\,\,\,\,{x_2} = — 6.\)
Значение \(x = — 2\) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 6.
Ответ: – 6.