Задача 31. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = 4{x^2} — 7x + 3\) и \(g\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
ОТВЕТ: 33.
График функции \(f\left( x \right) = 4{x^2} — 7x + 3\) пересекает ось ординат в точке \(\left( {0;3} \right)\). Значит график функции \(y = f\left( x \right)\) изображен слева, а график \(g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) справа, который проходит через точки \(\left( {1;0} \right)\), \(\left( {3; — 2} \right)\) и \(\left( {4;3} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = a + b + c\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 2 = 9a + 3b + c}\\{3 = 16a + 4b + c}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = — 8a — 2b\left| {: 2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,1 = — 4a — b.} \right.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \( — 3 = — 15a — 3b\left| {:3} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 1 = — 5a — b.\)
Таким образом, получим систему уравнений: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = — 4a — b}\\{ — 1 = — 5a — b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = a\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = 2.\)
Тогда: \(1 = — 4 \cdot 2 — b\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,b = — 9\) и \(0 = 2 — 9 + c\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 7.\)
Следовательно: \(g\left( x \right) = 2{x^2} — 9x + 7.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4{x^2} — 7x + 3}\\{y = 2{x^2} — 9x + 7}\end{array}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,4{x^2} — 7x + 3 = 2{x^2} — 9x + 7\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{x^2} + 2x — 4 = 0\left| {:2\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} + x — 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 1,\,\,\,{x_2} = — 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y_1} = 0,\,\,\,{y_2} = 33.\)
Следовательно, \(A\left( {1;0} \right)\) и \(B\left( { — 2;33} \right)\). Таким образом, ордината точки В равна 33.
Ответ: 33.