Задача 32. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = — 4{x^2} + 17x — 14\) и \(g\left( x \right) = a\,{x^2} + b\,x + c,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
ОТВЕТ: — 29.
График функции \(f\left( x \right) = — 4{x^2} + 17x — 14\) пересекает ось ординат в точке \(\left( {0; — 14} \right)\). Значит график функции \(y = f\left( x \right)\) изображен справа, а график \(g\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) слева, который проходит через точки \(\left( {1; — 1} \right)\), \(\left( { — 1;1} \right)\) и \(\left( { — 3; — 5} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = a + b + c\,\,\,\,\,\,}\\{1 = a — b + c\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 5 = 9a — 3b + c}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 2 = 2b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = — 1.\)
Вычтем из первого уравнения третье: \(4 = — 8a + 4b\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,4 = — 8a — 4\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = — 1.\)
Тогда: \( — 1 = — 1 — 1 + c\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,c = 1.\) Следовательно: \(g\left( x \right) = — {x^2} — x + 1.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения парабол необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = — 4{x^2} + 17x — 14}\\{y = — {x^2} — x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\, — 4{x^2} + 17x — 14 = — {x^2} — x + 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,3{x^2} — 18x + 15 = 0\left| {:3\,\,\,\,\, \Leftrightarrow } \right.\)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 6x + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 1,\,\,\,{x_2} = 5,\,\,\,\,\,\,\,\,{y_1} = — 1,\,\,\,{y_2} = — 29.\)
Следовательно, \(A\left( {1; — 1} \right)\) и \(B\left( {5; — 29} \right)\). Таким образом, ордината точки В равна – 29.
Ответ: – 29.