Задача 8. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = a\,{x^2} + 10\,x + c.\) Найдите \(f\left( { — 1} \right).\)
ОТВЕТ: — 33.
1 Способ
Парабола проходит через точки \(\left( {3; — 1} \right)\) и \(\left( {4;2} \right)\). Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = 9a + 30 + c}\\{2 = 16a + 40 + c}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 3 = — 7a — 10\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a = — 1.\)
Тогда: \( — 1 = — 9 + 30 + c\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,c = — 22.\)
Следовательно, уравнение параболы имеет вид:
\(f\left( x \right) = — {x^2} + 10x — 22\) и \(f\left( { — 1} \right) = — {\left( { — 1} \right)^2} + 10 \cdot \left( { — 1} \right) — 22 = — 33.\)
Ответ: – 33.
2 способ
Заметим, что графиком является парабола \(f\left( x \right) = — {x^2}\), вершина которой находится в точке \(\left( {5;3} \right)\). Следовательно, ее уравнение будет иметь вид:
\(f\left( x \right) = — {\left( {x — 5} \right)^2} + 3\) и \(f\left( { — 1} \right) = — {\left( { — 1 — 5} \right)^2} + 3 = — 33.\)
Ответ: – 33.