Задача 10. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{{x + a}}.\) Найдите \(f\left( { — 4\frac{2}{3}} \right).\)
ОТВЕТ: — 0,75.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{{x + a}}\) проходит через точки \(\left( { — 3; — 1} \right)\) и \(\left( {1; — 5} \right)\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = \frac{k}{{ — 3 + a}}}\\{ — 5 = \frac{k}{{1 + a}}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 3 — a\,\,\,\,\,}\\{k = — 5 — 5a}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,3 — a = — 5 — 5a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 2,\,\,\,k = 5.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = \frac{5}{{x — 2}}\) и \(f\left( { — 4\frac{2}{3}} \right) = \frac{5}{{ — 4\frac{2}{3} — 2}} = \frac{5}{{ — \frac{{20}}{3}}} = — 0,75.\)
Ответ: – 0,75.
2 Способ
Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту \(x = 2\). Следовательно, \(a = — 2\). График проходит через точку \(\left( { — 3; — 1} \right)\), поэтому: \( — 1 = \frac{k}{{ — 3 — 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = 5.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = \frac{5}{{x — 2}}\) и \(f\left( { — 4\frac{2}{3}} \right) = \frac{5}{{ — 4\frac{2}{3} — 2}} = \frac{5}{{ — \frac{{20}}{3}}} = — 0,75.\)
Ответ: – 0,75.