Задача 15. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{{x + a}}.\) Найдите значение x, при котором \(f\left( x \right) = — 0,04.\)
ОТВЕТ: 48.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{{x + a}}\) проходит через точки \(\left( { — 1; — 2} \right)\) и \(\left( { — 3;2} \right)\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 = \frac{k}{{ — 1 + a}}\,\,\,\,\,\,}\\{2 = \frac{k}{{ — 3 + a}}\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = 2 — 2a}\\{k = 2a — 6}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2a — 6 = 2 — 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 2,\,\,\,k = — 2.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = \frac{{ — 2}}{{x + 2}}\) и \(\frac{{ — 2}}{{x + 2}} = — 0,04\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x + 2 = 50\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 48.\)
Ответ: 48.
2 Способ
Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту \(x = — 2\). Следовательно, \(a = 2\). График проходит через точку \(\left( { — 1; — 2} \right)\), поэтому: \( — 2 = \frac{k}{{ — 1 + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = — 2.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = \frac{{ — 2}}{{x + 2}}\) и \(\frac{{ — 2}}{{x + 2}} = — 0,04\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x + 2 = 50\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 48.\)
Ответ: 48.