Задача 16. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{{x + a}}.\) Найдите значение x, при котором \(f\left( x \right) = 0,2.\)
ОТВЕТ: — 29.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{{x + a}}\) проходит через точки \(\left( {3; — 3} \right)\) и \(\left( { — 1;3} \right)\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = \frac{k}{{3 + a}}\,\,\,\,\,\,}\\{3 = \frac{k}{{ — 1 + a}}\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = — 9 — 3a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{k = 3a — 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,3a — 3 = — 9 — 3a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 1,\,\,\,k = — 6.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = \frac{{ — 6}}{{x — 1}}\) и \(\frac{{ — 6}}{{x — 1}} = 0,2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x — 1 = — 30\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = — 29.\)
Ответ: – 29.
2 Способ
Заметим, что график имеет вертикальную асимптоту \(x = 1\). Следовательно, \(a = — 1\). График проходит через точку \(\left( {3; — 3} \right)\), поэтому: \( — 3 = \frac{k}{{3 — 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = — 6.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = \frac{{ — 6}}{{x — 1}}\) и \(\frac{{ — 6}}{{x — 1}} = 0,2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x — 1 = — 30\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = — 29.\)
Ответ: – 29.