Задача 21. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = \frac{{k\,x + a}}{{x + b}}.\)  Найдите a.

Ответ

ОТВЕТ: 9.

Решение

Преобразуем данную функцию \(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}}\) следующим образом:

\(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}} = \frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = \frac{{k\left( {x + b} \right)}}{{x + b}} + \frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + \frac{{a — kb}}{{x + b}}\)

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 1\), то \(k = 1\).

Так как график функции имеет вертикальную асимптоту \(x =  — 4\), то \(b = 4\).

Следовательно: \(f\left( x \right) = 1 + \frac{{a — 4}}{{x + 4}}.\)

Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку \(\left( { — 3;6} \right)\).

Тогда:  \(6 = 1 + \frac{{a — 4}}{{ — 3 + 4}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{a — 4}}{1} = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 9.\,\,\,\)

Ответ: 9.