Задача 23. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = \frac{{k\,x + a}}{{x + b}}.\)  Найдите a.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Преобразуем данную функцию \(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}}\) следующим образом:

\(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}} = \frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = \frac{{k\left( {x + b} \right)}}{{x + b}} + \frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + \frac{{a — kb}}{{x + b}}\)

Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y =  — 2\), то \(k =  — 2\).

Так как график функции имеет вертикальную асимптоту \(x = 3\), то \(b =  — 3\).

Следовательно: \(f\left( x \right) =  — 2 + \frac{{a — 6}}{{x — 3}}.\)

Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку \(\left( {2;3} \right)\).

Тогда:    \(3 =  — 2 + \frac{{a — 6}}{{2 — 3}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{a — 6}}{{ — 1}} = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\,\,\,\)

Ответ: 1.