Задача 23. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{{k\,x + a}}{{x + b}}.\) Найдите a.
ОТВЕТ: 1.
Преобразуем данную функцию \(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}}\) следующим образом:
\(f\left( x \right) = \frac{{kx + a}}{{x + b}} = \frac{{kx + kb + a — kb}}{{x + b}} = \frac{{k\left( {x + b} \right)}}{{x + b}} + \frac{{a — kb}}{{x + b}} = k + \frac{{a — kb}}{{x + b}}\)
Так как график функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = — 2\), то \(k = — 2\).
Так как график функции имеет вертикальную асимптоту \(x = 3\), то \(b = — 3\).
Следовательно: \(f\left( x \right) = — 2 + \frac{{a — 6}}{{x — 3}}.\)
Воспользуемся тем, что график функции проходит через точку \(\left( {2;3} \right)\).
Тогда: \(3 = — 2 + \frac{{a — 6}}{{2 — 3}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{a — 6}}{{ — 1}} = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\,\,\,\)
Ответ: 1.