Задача 25. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) и \(g\left( x \right) = a\,x + b\,,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ОТВЕТ: 0,2.
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(\left( {1;3} \right)\). Следовательно: \(3 = \frac{k}{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = 3.\)
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: \(f\left( x \right) = \frac{3}{x}.\)
График прямой \(g\left( x \right) = ax + b\) проходит через точки \(\left( { — 3; — 1} \right)\) и \(\left( { — 2;4} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = — 3a + b}\\{4 = — 2a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 5 = — a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = 5.\)
Тогда: \( — 1 = — 3 \cdot 5 + b\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,b = 14.\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(g\left( x \right) = 5x + 14.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 5x + 14}\\{y = \frac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,5x + 14 = \frac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,5{x^2} + 14x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,2,\,\,\,{x_2} = — 3.\)
Значение \(x = — 3\) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 0,2.
Ответ: 0,2.