Задача 26. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) и \(g\left( x \right) = a\,x + b\,,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ОТВЕТ: — 6,25.
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(\left( {1;5} \right)\). Следовательно: \(5 = \frac{k}{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = 5.\)
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: \(f\left( x \right) = \frac{5}{x}.\)
График прямой \(g\left( x \right) = ax + b\) проходит через точки \(\left( { — 4;1} \right)\) и \(\left( {1;5} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = — 4a + b}\\{5 = a + b\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 4 = — 5a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \frac{4}{5}.\)
Тогда: \(1 = — 4 \cdot \frac{4}{5} + b\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,b = \frac{{21}}{5}.\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(g\left( x \right) = \frac{4}{5}x + \frac{{21}}{5}.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{4}{5}x + \frac{{21}}{5}}\\{y = \frac{5}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{5}x + \frac{{21}}{5} = \frac{5}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,4{x^2} + 21x — 25 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 1,\,\,\,{x_2} = — 6,25.\)
Значение \(x = 1\) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна – 6,25.
Ответ: – 6,25.