Задача 27. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) и \(g\left( x \right) = a\,x + b\,,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ОТВЕТ: 10.
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(\left( {1; — 5} \right)\). Следовательно: \( — 5 = \frac{k}{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = — 5.\)
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: \(f\left( x \right) = — \frac{5}{x}.\)
График прямой \(g\left( x \right) = ax + b\) проходит через точки \(\left( {1; — 5} \right)\) и \(\left( {5; — 3} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = a + b\,\,\,}\\{ — 3 = 5a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 2 = — 4a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \frac{1}{2}.\)
Тогда: \( — 5 = \frac{1}{2} + b\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,b = — \frac{{11}}{2}.\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(g\left( x \right) = \frac{1}{2}x — \frac{{11}}{2}.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{1}{2}x — \frac{{11}}{2}}\\{y = — \frac{5}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}x — \frac{{11}}{2} = — \frac{5}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 11x + 10 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 1,\,\,\,{x_2} = 10.\)
Значение \(x = 1\) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 10.
Ответ: 10.