Задача 28. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) и \(g\left( x \right) = a\,x + b\,,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
ОТВЕТ: 12,5.
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(\left( { — 1;5} \right)\). Следовательно: \(5 = \frac{k}{{ — 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = — 5.\)
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: \(f\left( x \right) = — \frac{5}{x}.\)
График прямой \(g\left( x \right) = ax + b\) проходит через точки \(\left( { — 1;5} \right)\) и \(\left( {4;3} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 = — a + b}\\{3 = 4a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = — 5a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = — \frac{2}{5}.\)
Тогда: \(5 = \frac{2}{5} + b\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,b = \frac{{23}}{5}.\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(g\left( x \right) = — \frac{2}{5}x + \frac{{23}}{5}.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = — \frac{2}{5}x + \frac{{23}}{5}}\\{y = — \frac{5}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \frac{2}{5}x + \frac{{23}}{5} = — \frac{5}{x}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,2{x^2} — 23x — 25 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{x_1} = — 1,\,\,\,{x_2} = 12,5.\)
Значение \(x = — 1\) является абсциссой точки А. Следовательно, абсцисса точки В равна 12,5.
Ответ: 12,5.