Задача 3. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\) Найдите \(f\left( {7,5} \right).\)
ОТВЕТ: 1,6.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1; — 1} \right)\) и \(\left( {3;1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 = \frac{k}{1} + a}\\{1 = \frac{k}{3} + a}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 2 = k — \frac{k}{3}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 3.\)
Тогда: \( — 1 = — 3 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 2.\)
Следовательно, уравнение гиперболы: \(f\left( x \right) = — \frac{3}{x} + 2\) и \(f\left( {7,5} \right) = — \frac{3}{{7,5}} + 2 = 1,6.\)
Ответ: 1,6.
2 Способ
Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y = 2\). Следовательно, \(a = 2\). График проходит через точку \(\left( {1; — 1} \right)\), поэтому: \( — 1 = \frac{k}{1} + 2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 3.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = — \frac{3}{x} + 2\) и \(f\left( {7,5} \right) = — \frac{3}{{7,5}} + 2 = 1,6.\)
Ответ: 1,6.