Задача 30. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) и \(g\left( x \right) = a\,x + b\,,\) которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
ОТВЕТ: — 16.
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x}\) проходит через точку \(\left( {4;1} \right)\). Следовательно: \(1 = \frac{k}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = 4.\)
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид: \(f\left( x \right) = \frac{4}{x}.\)
График прямой \(g\left( x \right) = ax + b\) проходит через точки \(\left( {4;1} \right)\) и \(\left( {3; — 3} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 4a + b\,\,}\\{ — 3 = 3a + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(4 = a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = 4.\)
Тогда: \(1 = 16 + b\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,b = — 15.\)
Таким образом, уравнение прямой имеет вид: \(g\left( x \right) = 4x — 15.\)
Чтобы найти координаты точек пересечения прямой и гиперболы необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 4x — 15}\\{y = \frac{4}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,4x — 15 = \frac{4}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,4{x^2} — 15x — 4 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = 4,\,\,\,{x_2} = — \frac{1}{4},\,\,\,{y_1} = 1,\,\,\,\,{y_2} = — 16.\)
Следовательно, \(A\left( {4;1} \right)\) и \(B\left( { — \frac{1}{4}; — 16} \right)\). Таким образом, ордината точки В равна – 16.
Ответ: – 16.