Задача 5. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\) Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,8.
ОТВЕТ: — 15.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1;4} \right)\) и \(\left( {3;2} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = \frac{k}{1} + a}\\{2 = \frac{k}{3} + a}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(2 = k — \frac{k}{3}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 3.\)
Тогда: \(4 = 3 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = \frac{3}{x} + 1\) и \(\frac{3}{x} + 1 = 0,8\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{x} = — \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 15.\)
Ответ: – 15.
2 Способ
Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y = 1\). Следовательно, \(a = 1\). График проходит через точку \(\left( {1;4} \right)\), поэтому: \(4 = \frac{k}{1} + 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 3.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = \frac{3}{x} + 1\) и \(\frac{3}{x} + 1 = 0,8\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{x} = — \frac{1}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 15.\)
Ответ: – 15.