Задача 6. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно 19.

Ответ

ОТВЕТ: 0,1.

Решение

1 Способ

График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1;1} \right)\) и \(\left( {2;0} \right)\). Следовательно:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = \frac{k}{1} + a}\\{0 = \frac{k}{2} + a}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:    \(1 = k — \frac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 2.\)

Тогда:    \(1 = 2 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a =  — 1.\)

Следовательно, уравнение гиперболы:

\(f\left( x \right) = \frac{2}{x} — 1\)    и    \(\frac{2}{x} — 1 = 19\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,1.\)

Ответ: 0,1.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y =  — 1\). Следовательно, \(a =  — 1\). График проходит через точку \(\left( {1;1} \right)\), поэтому:   \(1 = \frac{k}{1} — 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 2.\)

Таким образом,    \(f\left( x \right) = \frac{2}{x} — 1\)    и    \(\frac{2}{x} — 1 = 19\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} = 20\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,1.\)

Ответ: 0,1.