Задача 6. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\) Найдите, при каком значении x значение функции равно 19.
ОТВЕТ: 0,1.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1;1} \right)\) и \(\left( {2;0} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = \frac{k}{1} + a}\\{0 = \frac{k}{2} + a}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \(1 = k — \frac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 2.\)
Тогда: \(1 = 2 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 1.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = \frac{2}{x} — 1\) и \(\frac{2}{x} — 1 = 19\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,1.\)
Ответ: 0,1.
2 Способ
Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y = — 1\). Следовательно, \(a = — 1\). График проходит через точку \(\left( {1;1} \right)\), поэтому: \(1 = \frac{k}{1} — 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = 2.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = \frac{2}{x} — 1\) и \(\frac{2}{x} — 1 = 19\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{x} = 20\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,1.\)
Ответ: 0,1.