Задача 7. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно 0,75.

Ответ

ОТВЕТ: 16.

Решение

1 Способ

График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1; — 3} \right)\) и \(\left( {2; — 1} \right)\). Следовательно:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = \frac{k}{1} + a}\\{ — 1 = \frac{k}{2} + a}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:    \( — 2 = k — \frac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k =  — 4.\)

Тогда:    \( — 3 =  — 4 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\)

Следовательно, уравнение гиперболы:

\(f\left( x \right) =  — \frac{4}{x} + 1\)   и   \( — \frac{4}{x} + 1 = 0,75\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \frac{4}{x} =  — \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 16.\)

Ответ: 16.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y = 1\). Следовательно, \(a = 1\). График проходит через точку \(\left( {1; — 3} \right)\), поэтому:   \( — 3 = \frac{k}{1} + 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k =  — 4.\)

Таким образом,   \(f\left( x \right) =  — \frac{4}{x} + 1\)   и   \( — \frac{4}{x} + 1 = 0,75\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — \frac{4}{x} =  — \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 16.\)

Ответ: 16.