Задача 7. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\) Найдите, при каком значении x значение функции равно 0,75.
ОТВЕТ: 16.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1; — 3} \right)\) и \(\left( {2; — 1} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 3 = \frac{k}{1} + a}\\{ — 1 = \frac{k}{2} + a}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 2 = k — \frac{k}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 4.\)
Тогда: \( — 3 = — 4 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = 1.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = — \frac{4}{x} + 1\) и \( — \frac{4}{x} + 1 = 0,75\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \frac{4}{x} = — \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 16.\)
Ответ: 16.
2 Способ
Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y = 1\). Следовательно, \(a = 1\). График проходит через точку \(\left( {1; — 3} \right)\), поэтому: \( — 3 = \frac{k}{1} + 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 4.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = — \frac{4}{x} + 1\) и \( — \frac{4}{x} + 1 = 0,75\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\, — \frac{4}{x} = — \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 16.\)
Ответ: 16.