Задача 8. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\) Найдите, при каком значении x значение функции равно \( — 9,5.\)
ОТВЕТ: 0,4.
1 Способ
График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1; — 5} \right)\) и \(\left( {3; — 3} \right)\). Следовательно:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = \frac{k}{1} + a}\\{ — 3 = \frac{k}{3} + a}\end{array}} \right.\)
Вычтем из первого уравнения второе: \( — 2 = k — \frac{k}{3}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 3.\)
Тогда: \( — 5 = — 3 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a = — 2.\)
Следовательно, уравнение гиперболы:
\(f\left( x \right) = — \frac{3}{x} — 2\) и \( — \frac{3}{x} — 2 = — 9,5\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{3}{x} = — \frac{{15}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,4.\)
Ответ: 0,4.
2 Способ
Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y = — 2\). Следовательно, \(a = — 2\). График проходит через точку \(\left( {1; — 5} \right)\), поэтому: \( — 5 = \frac{k}{1} — 2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k = — 3.\)
Таким образом, \(f\left( x \right) = — \frac{3}{x} — 2\) и \( — \frac{3}{x} — 2 = — 9,5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \frac{3}{x} = — \frac{{15}}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 0,4.\)
Ответ: 0,4.