Задача 8. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a.\)  Найдите, при каком значении  x  значение функции равно \( — 9,5.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,4.

Решение

1 Способ

График гиперболы \(f\left( x \right) = \frac{k}{x} + a\) проходит через точки \(\left( {1; — 5} \right)\) и \(\left( {3; — 3} \right)\). Следовательно:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 5 = \frac{k}{1} + a}\\{ — 3 = \frac{k}{3} + a}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения второе:   \( — 2 = k — \frac{k}{3}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k =  — 3.\)

Тогда: \( — 5 =  — 3 + a\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a =  — 2.\)

Следовательно, уравнение гиперболы:

\(f\left( x \right) =  — \frac{3}{x} — 2\)   и   \( — \frac{3}{x} — 2 =  — 9,5\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{3}{x} =  — \frac{{15}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,4.\)

Ответ: 0,4.

2 Способ

Заметим, что график имеет горизонтальную асимптоту \(y =  — 2\). Следовательно, \(a =  — 2\). График проходит через точку \(\left( {1; — 5} \right)\), поэтому:   \( — 5 = \frac{k}{1} — 2\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,k =  — 3.\)

Таким образом, \(f\left( x \right) =  — \frac{3}{x} — 2\)  и  \( — \frac{3}{x} — 2 =  — 9,5\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\, — \frac{3}{x} =  — \frac{{15}}{2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 0,4.\)

Ответ: 0,4.