Задача 29. На рисунке изображён график функции \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}.\) Найдите значение x, при котором \(f\left( x \right) = 16.\)
ОТВЕТ: 5.
График показательной функции \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}\) проходит через точки \(\left( {1;4} \right)\) и \(\left( { — 3;1} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = {a^{1 + b}}}\\{1 = {a^{ — 3 + b}}}\end{array}} \right.\)
Разделим первое уравнение на второе: \(\frac{{{a^{1 + b}}}}{{{a^{ — 3 + b}}}} = \frac{4}{1}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^4} = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \sqrt 2 .\)
Тогда: \({\left( {\sqrt 2 } \right)^{ — 3 + b}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\sqrt 2 } \right)^{ — 3 + b}} = {\sqrt 2 ^0}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 3 + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b = 3.\)
Таким образом: \(f\left( x \right) = {\sqrt 2 ^{\,x + 3}}\) и \({\sqrt 2 ^{\,x + 3}} = 16\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{2^{\frac{{x + 3}}{2}}} = {2^4}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{x + 3}}{2} = 4\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 5.\)
Ответ: 5.