Задача 31. На рисунке изображён график функции  \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}.\)  Найдите значение x, при котором  \(f\left( x \right) = 64.\)

Ответ

ОТВЕТ: — 3.

Решение

График показательной функции  \(f\left( x \right) = {a^{x + b}}\) проходит через точки \(\left( {3;1} \right)\) и \(\left( {1;4} \right)\).

Следовательно:    \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = {a^{3 + b}}}\\{4 = {a^{1 + b}}}\end{array}} \right.\)

Разделим первое уравнение на второе:   \(\frac{{{a^{3 + b}}}}{{{a^{1 + b}}}} = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{a^2} = \frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \frac{1}{2}.\)

Тогда: \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 + b}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3 + b}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,3 + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,b =  — 3.\)

Таким образом:    

\(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x — 3}}\)    и     \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x — 3}} = 64\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{x — 3}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ — 6}}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x — 3 =  — 6\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  — 3.\)

Ответ: – 3.