Задача 10. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\sqrt x \) и \(g\left( x \right) = k\,x + b\,,\) которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки А.
ОТВЕТ: 2,25.
График функции \(f\left( x \right) = a\sqrt x \) проходит через точку \(\left( {4;3} \right)\). Следовательно:
\(3 = a\sqrt 4 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,2a = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \frac{3}{2}\) и \(f\left( x \right) = \frac{3}{2}\sqrt x \).
График линейной функции \(g\left( x \right) = kx + b\) проходит через точки \(\left( {3;2} \right)\) и \(\left( {6;1} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2 = 3k + b}\\{1 = 6k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из второго уравнения первое: \( — 1 = 3k\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,k = — \frac{1}{3}.\)
Тогда: \(2 = 3 \cdot \left( { — \frac{1}{3}} \right) + b\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = 3\) и \(g\left( x \right) = — \frac{1}{3}x + 3.\)
Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{3}{2}\sqrt x \,\,\,\,\,\,}\\{y = — \frac{1}{3}x + 3}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{2}\sqrt x = — \frac{1}{3}x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,9\sqrt x = — 2x + 18.} \right.\)
Пусть \(\sqrt x = t\), где \(t \ge 0\). Тогда:
\(9t = — 2{t^2} + 18\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2{t^2} + 9t — 18 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{t_1} = — 6,\,\,\,{t_2} = \frac{3}{2}.\)
Корень \({t_1} = — 6\) не удовлетворяет условию \(t \ge 0\). Следовательно: \(\sqrt x = \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 2,25.\)
Таким образом, абсцисса точки А равна 2,25.
Ответ: 2,25.