Задача 12. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\sqrt x \) и \(g\left( x \right) = k\,x + b\,,\) которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки А.
ОТВЕТ: — 10.
График функции \(f\left( x \right) = a\sqrt x \) проходит через точку \(\left( {4; — 5} \right)\). Следовательно:
\( — 5 = a\sqrt 4 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,2a = — 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = — \frac{5}{2}\) и \(f\left( x \right) = — \frac{5}{2}\sqrt x \).
График линейной функции \(g\left( x \right) = kx + b\) проходит через точки \(\left( {0;4} \right)\) и \(\left( {8; — 3} \right).\)
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 = 0 \cdot k + b}\\{ — 3 = 8k + b}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{ — 3 = 8k + b}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — 3 = 8k + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,k = — \frac{7}{8}.\)
Тогда: \(g\left( x \right) = — \frac{7}{8}x + 4.\)
Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = — \frac{5}{2}\sqrt x \,\,\,\,\,\,}\\{y = — \frac{7}{8}x + 4}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, — \frac{5}{2}\sqrt x = — \frac{7}{8}x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,20\sqrt x = 7x — 32.} \right.\)
Пусть \(\sqrt x = t\), где \(t \ge 0\). Тогда:
\(20t = 7{t^2} — 32\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,7{t^2} — 20t — 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{t_1} = — \frac{8}{7},\,\,\,{t_2} = 4.\)
Корень \({t_1} = — \frac{8}{7}\) не удовлетворяет условию \(t \ge 0\). Следовательно: \(\sqrt x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 16.\)
Тогда: \(y = — \frac{5}{2}\sqrt {16} = — 10\) и ордината точки А равна – 10.
Ответ: – 10.