Задача 9. На рисунке изображены графики функций \(f\left( x \right) = a\sqrt x \) и \(g\left( x \right) = k\,x + b\,,\) которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки А.
ОТВЕТ: 16.
График функции \(f\left( x \right) = a\sqrt x \) проходит через точку \(\left( {4;5} \right)\). Следовательно:
\(5 = a\sqrt 4 \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,2a = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,a = \frac{5}{2}\) и \(f\left( x \right) = \frac{5}{2}\sqrt x \).
График линейной функции \(g\left( x \right) = kx + b\) проходит через точки \(\left( {4;1} \right)\) и \(\left( {8;4} \right)\).
Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = 4k + b}\\{4 = 8k + b}\end{array}} \right.\)
Вычтем из второго уравнения первое: \(3 = 4k\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,k = \frac{3}{4}.\)
Тогда: \(1 = 4 \cdot \frac{3}{4} + b\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,b = — 2\) и \(g\left( x \right) = \frac{3}{4}x — 2.\)
Чтобы найти координаты точки пересечения необходимо решить систему уравнений:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \frac{5}{2}\sqrt x }\\{y = \frac{3}{4}x — 2}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{5}{2}\sqrt x = \frac{3}{4}x — 2\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,10\sqrt x = 3x — 8.} \right.\)
Пусть \(\sqrt x = t\), где \(t \ge 0\). Тогда:
\(10t = 3{t^2} — 8\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,3{t^2} — 10t — 8 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{t_1} = — \frac{2}{3},\,\,\,{t_2} = 4.\)
Корень \({t_1} = — \frac{2}{3}\) не удовлетворяет условию \(t \ge 0\). Следовательно: \(\sqrt x = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = 16.\)
Таким образом, абсцисса точки А равна 16.
Ответ: 16.