Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 4x + 1.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} — 4x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = \dfrac{1}{3},\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)
Значение \({x_1} = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {1;4} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;4} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 4\) :
\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 2 \cdot {1^2} + 1 + 3 = 3;\)
\(y\left( 4 \right) = {4^3} — 2 \cdot {4^2} + 4 + 3 = 39;\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно 3.
Ответ: 3.