Задача 11. Найдите наименьшее значение функции    \(y = {x^3} — 2{x^2} + x + 3\)    на отрезке  \(\left[ {1;\;4} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 3.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:     \(y’ = 3{x^2} — 4x + 1.\)

Найдём нули производной:

\(3{x^2} — 4x + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = \frac{1}{3},\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)

Значение  \({x_1} = \frac{1}{3} \notin \left[ {1;4} \right].\)  Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;4} \right]\), то есть в точках  \(x = 1,\,\,\,\,x = 4\) :

\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 2 \cdot {1^2} + 1 + 3 = 3;\)

\(y\left( 4 \right) = {4^3} — 2 \cdot {4^2} + 4 + 3 = 39;\)

Следовательно, наименьшее значение функции равно  3.

Ответ:  3.