Область определения функции: \(x \in R.\)
Найдём производную заданной функции: \(y’ = 3{x^2} — 3.\)
Найдём нули производной:
\(3{x^2} — 3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 1,\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)
Значение \({x_1} = — 1 \notin \left[ {0;2} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {0;2} \right]\), то есть в точках \(x = 0,\,\,\,\,x = 2\) или в точке \(x = 1:\)
\(y\left( 0 \right) = {0^3} — 3 \cdot 0 + 23 = 23;\)
\(y\left( 2 \right) = {2^3} — 3 \cdot 2 + 23 = 25;\)
\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 3 \cdot 1 + 23 = 21.\)
Следовательно, наименьшее значение равно 21.
Ответ: 21.