Задача 3. Найдите наименьшее значение функции   \(y = {x^3} — 3x + 23\)   на отрезке  \(\left[ {0;\,2} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 21.

Решение

Область определения функции: \(x \in R.\)

Найдём производную заданной функции:    \(y’ = 3{x^2} — 3.\)

Найдём нули производной:

\(3{x^2} — 3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2} = 1\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} =  — 1,\,\,\,\,\,{x_2} = 1.\)

Значение  \({x_1} =  — 1 \notin \left[ {0;2} \right].\)  Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {0;2} \right]\), то есть в точках  \(x = 0,\,\,\,\,x = 2\)  или в точке  \(x = 1:\)

\(y\left( 0 \right) = {0^3} — 3 \cdot 0 + 23 = 23;\)

\(y\left( 2 \right) = {2^3} — 3 \cdot 2 + 23 = 25;\)

\(y\left( 1 \right) = {1^3} — 3 \cdot 1 + 23 = 21.\)

Следовательно, наименьшее значение равно 21.

Ответ:  21.