ЕГЭ профильный уровень. №12 Степенные, иррациональные и дробные функции. Задача 35

Задача 35. Найдите точку минимума функции \(y = \dfrac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} — 3x + 15\)

Ответ

ОТВЕТ: 2,25.

Решение

Область определения функции: \(x \in \left[ {0;\infty } \right).\)

Найдём производную заданной функции: \(y’ = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}} — 3 = 2\sqrt x — 3.\)

Найдём нули производной:

\(2\sqrt x — 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt x = \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x = \dfrac{9}{4}.\)

Определим знаки производной и её поведение:

Следовательно, точка минимума \(x = \dfrac{9}{4}.\)

Ответ: 2,25.