Задача 55. Найдите наименьшее значение функции    \(y = x + \frac{{36}}{x}\)    на отрезке \(\left[ {1;\;9} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Найдём производную заданной функции:

\(y’ = x’ + \frac{{36′ \cdot x — 36 \cdot x’}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{{0 \cdot x — 36}}{{{x^2}}} = 1 — \frac{{36}}{{{x^2}}}.\)

Найдём нули производной:

\(1 — \frac{{36}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 36 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} =  — 6,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)

Значение  \({x_1} =  — 6 \notin \left[ {1;9} \right].\)  Наименьшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках  \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\) или \(x = 6\):

\(y\left( 1 \right) = 1 + \frac{{36}}{1} = 37;\)

\(y\left( 9 \right) = 9 + \frac{{36}}{9} = 13;\)

\(y\left( 6 \right) = 6 + \frac{{36}}{6} = 12.\)

Следовательно, наименьшее значение функции равно  12.

Ответ:  12.