Задача 55. Найдите наименьшее значение функции \(y = x + \frac{{36}}{x}\) на отрезке \(\left[ {1;\;9} \right]\)
ОТВЕТ: 12.
Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = x’ + \frac{{36′ \cdot x — 36 \cdot x’}}{{{x^2}}} = 1 + \frac{{0 \cdot x — 36}}{{{x^2}}} = 1 — \frac{{36}}{{{x^2}}}.\) Найдём нули производной: \(1 — \frac{{36}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 36 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 6,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\) Значение \({x_1} = — 6 \notin \left[ {1;9} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\) или \(x = 6\): \(y\left( 1 \right) = 1 + \frac{{36}}{1} = 37;\) \(y\left( 9 \right) = 9 + \frac{{36}}{9} = 13;\) \(y\left( 6 \right) = 6 + \frac{{36}}{6} = 12.\) Следовательно, наименьшее значение функции равно 12. Ответ: 12.