Область определения функции: \(x \in \,\,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = x’ + \dfrac{{36′ \cdot x — 36 \cdot x’}}{{{x^2}}} = 1 + \dfrac{{0 \cdot x — 36}}{{{x^2}}} = 1 — \dfrac{{36}}{{{x^2}}}.\)
Найдём нули производной:
\(1 — \dfrac{{36}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} — 36 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 6,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 6.\)
Значение \({x_1} = — 6 \notin \left[ {1;9} \right].\) Наименьшее значение функции будет в концах отрезка \(\left[ {1;9} \right]\), то есть в точках \(x = 1,\,\,\,\,x = 9\) или \(x = 6\):
\(y\left( 1 \right) = 1 + \dfrac{{36}}{1} = 37;\)
\(y\left( 9 \right) = 9 + \dfrac{{36}}{9} = 13;\)
\(y\left( 6 \right) = 6 + \dfrac{{36}}{6} = 12.\)
Следовательно, наименьшее значение функции равно 12.
Ответ: 12.