Задача 60. Найдите точку минимума функции \(y = {\left( {x + 3} \right)^2}\left( {x + 5} \right) — 1\)
Область определения функции: \(x \in \,\,R.\) Найдём производную заданной функции: \(y’ = \,{\left( {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right)^\prime }\left( {x + 5} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {x + 5} \right)^\prime } — 1′ = 2\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2} = \) \( = \left( {x + 3} \right)\left( {2\left( {x + 5} \right) + x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2x + 10 + x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {3x + 13} \right).\) Найдём нули производной: \(\left( {x + 3} \right)\left( {3x + 13} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 3,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — \frac{{13}}{3}.\) Определим знаки производной и её поведение: Следовательно, точка минимума \(x = — 3.\) Ответ: – 3.