Область определения функции: \(x \in \,\,R.\)
Найдём производную заданной функции:
\(y’ = \,{\left( {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right)^\prime }\left( {x + 5} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {x + 5} \right)^\prime } — 1′ = 2\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right) + {\left( {x + 3} \right)^2} = \)
\( = \left( {x + 3} \right)\left( {2\left( {x + 5} \right) + x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2x + 10 + x + 3} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {3x + 13} \right).\)
Найдём нули производной:
\(\left( {x + 3} \right)\left( {3x + 13} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x_1} = — 3,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — \dfrac{{13}}{3}.\)
Определим знаки производной и её поведение:
Следовательно, точка минимума \(x = — 3.\)
Ответ: – 3.