Задача 62. Найдите наибольшее значение функции   \(y = {\left( {x — 2} \right)^2}\left( {x — 4} \right) + 5\)   на отрезке   \(\left[ {1;\;3} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 5.

Решение

Область определения функции: \(x \in \,\,R.\)

Найдём производную заданной функции:

\(y’ = {\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2}} \right)^\prime }\left( {x — 4} \right) + {\left( {x — 2} \right)^2}{\left( {x — 4} \right)^\prime } + 5′ = 2\left( {x — 2} \right)\left( {x — 4} \right) + {\left( {x — 2} \right)^2} = \)

\( = \left( {x — 2} \right)\left( {2\left( {x — 4} \right) + x — 2} \right) = \left( {x — 2} \right)\left( {2x — 8 + x — 2} \right) = \left( {x — 2} \right)\left( {3x — 10} \right).\)

Найдём нули производной:

\(\left( {x — 2} \right)\left( {3x — 10} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{10}}{3}.\)

Значение  \({x_2} = \frac{{10}}{3} \notin \left[ {1;3} \right].\)  Наибольшее значение функции будет в концах отрезка  \(\left[ {1;3} \right]\), то есть в точках  \(x = 1,\,\,\,\,x = 3\) или \(x = 2\):

\(y\left( 1 \right) = {\left( {1 — 2} \right)^2} \cdot \left( {1 — 4} \right) + 5 =  — 3 + 5 = 2;\)

\(y\left( 3 \right) = {\left( {3 — 2} \right)^2} \cdot \left( {3 — 4} \right) + 5 =  — 1 + 5 = 4;\)

\(y\left( 2 \right) = {\left( {2 — 2} \right)^2} \cdot \left( {2 — 4} \right) + 5 = 0 + 5 = 5.\)

Следовательно, наибольшее значение функции равно  5.

Ответ:  5.