Задача 2. Найдите наибольшее значение функции \(y = \ln {\left( {x + 5} \right)^5} — 5x\) на отрезке \(\left[ { — 4,5;\;0} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,\left( { — 5;\infty } \right).\) Воспользуемся свойством логарифмов: \({\log _a}{b^p} = p{\log _a}b\). Тогда: \(y = 5\ln \left( {x + 5} \right) — 5x\). Найдем производную полученной функции: \(y’ = \frac{5}{{x + 5}} — 5\). Найдем нули производной: \(\frac{5}{{x + 5}} — 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + 5 = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 4.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 4,5;0} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 4,5;0} \right]\) будет в точке \(x = — 4.\) \(y\left( { — 4} \right) = \ln {\left( { — 4 + 5} \right)^5} — 5 \cdot \left( { — 4} \right) = \ln 1 + 20 = 20.\) Ответ: 20.