Задача 3. Найдите наименьшее значение функции \(y = 10x — 10\ln \left( {x + 8} \right) + 19\) на отрезке \(\left[ { — 7,5;\;0} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,\left( { — 8;\infty } \right).\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = 10 — \frac{{10}}{{x + 8}}\). Найдем нули производной: \(10 — \frac{{10}}{{x + 8}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + 8 = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = — 7.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 7,5;0} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 7,5;0} \right]\) будет в точке \(x = — 7.\) \(y\left( { — 7} \right) = 10 \cdot \left( { — 7} \right) — 10\ln \left( { — 7 + 8} \right) + 19 = — 70 — 10\ln 1 + 19 = — 51.\) Ответ: – 51.