Задача 13. Найдите наименьшее значение функции \(y = \left( {8 — x} \right){e^{9 — x}}\) на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {8 — x} \right)^\prime }{e^{9 — x}} + \left( {8 — x} \right){\left( {{e^{9 — x}}} \right)^\prime } = — {e^{9 — x}} + \left( {8 — x} \right){e^{9 — x}}{\left( {9 — x} \right)^\prime } = \) \( = -{e^{9 — x}} — \left( {8 — x} \right){e^{9 — x}} = {e^{9 — x}}\left( { — 1 — 8 + x} \right) = {e^{9 — x}}\left( {x — 9} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{9 — x}}\left( {x — 9} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x — 9 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 9.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {3;10} \right]\) будет в точке \(x = 9.\) \(y\left( 9 \right) = \left( {8 — 9} \right){e^{9 — 9}} = — 1.\) Ответ: – 1.