Задача 16. Найдите наименьшее значение функции \(y = \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){e^{x — 10}}\) на отрезке \(\left[ {8;11} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {3{x^2} — 36x + 36} \right)^\prime }{e^{x — 10}} + \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){\left( {{e^{x — 10}}} \right)^\prime } = \left( {6x — 36} \right){e^{x — 10}} + \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){e^{x — 10}} = \) \( = {e^{x — 10}}\left( {6x — 36 + 3{x^2} — 36x + 36} \right) = {e^{x — 10}}\left( {3{x^2} — 30x} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{x — 10}}\left( {3{x^2} — 30x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,3{x^2} — 30x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 10.\) Значение \({x_1} = 0 \notin \left[ {8;11} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {8;11} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {8;11} \right]\) будет в точке \(x = 10.\) \(y\left( {10} \right) = \left( {3 \cdot {{10}^2} — 36 \cdot 10 + 36} \right){e^{10 — 10}} = — 24.\) Ответ: – 24.