Задача 17. Найдите наибольшее значение функции \(y = \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){e^x}\) на отрезке \(\left[ { — 1;4} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {3{x^2} — 36x + 36} \right)^\prime }{e^x} + \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){\left( {{e^x}} \right)^\prime } = \left( {6x — 36} \right){e^x} + \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){e^x} = \) \( = {e^x}\left( {6x — 36 + 3{x^2} — 36x + 36} \right) = {e^x}\left( {3{x^2} — 30x} \right).\) Найдем нули производной: \({e^x}\left( {3{x^2} — 30x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,3{x^2} — 30x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 10.\) Значение \({x_2} = 10 \notin \left[ { — 1;4} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 1;4} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 1;4} \right]\) будет в точке \(x = 0.\) \(y\left( 0 \right) = \left( {3 \cdot {0^2} — 36 \cdot 0 + 36} \right){e^0} = 36.\) Ответ: 36.