Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {3{x^2} — 36x + 36} \right)^\prime }{e^x} + \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){\left( {{e^x}} \right)^\prime } = \left( {6x — 36} \right){e^x} + \left( {3{x^2} — 36x + 36} \right){e^x} = \)
\( = {e^x}\left( {6x — 36 + 3{x^2} — 36x + 36} \right) = {e^x}\left( {3{x^2} — 30x} \right).\)
Найдем нули производной:
\({e^x}\left( {3{x^2} — 30x} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,3{x^2} — 30x = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 10.\)
Значение \({x_2} = 10 \notin \left[ { — 1;4} \right].\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 1;4} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 1;4} \right]\) будет в точке \(x = 0.\)
\(y\left( 0 \right) = \left( {3 \cdot {0^2} — 36 \cdot 0 + 36} \right){e^0} = 36.\)
Ответ: 36.