Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{x^2} — 8x + 8} \right)^\prime }{e^{2 — x}} + \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){\left( {{e^{2 — x}}} \right)^\prime } = \left( {2x — 8} \right){e^{2 — x}} + \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){e^{2 — x}} \cdot {\left( {2 — x} \right)^\prime } = \)
\( = \left( {2x — 8} \right){e^{2 — x}} — \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){e^{2 — x}} = {e^{2 — x}}\left( {2x — 8 — {x^2} + 8x — 8} \right) = {e^{2 — x}}\left( { — {x^2} + 10x — 16} \right).\)
Найдем нули производной:
\({e^{2 — x}}\left( { — {x^2} + 10x — 16} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, — {x^2} + 10x — 16 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 8.\)
Значение \({x_2} = 8 \notin \left[ {1;7} \right].\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {1;7} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {1;7} \right]\) будет в точке \(x = 2.\)
\(y\left( 2 \right) = \left( {{2^2} — 8 \cdot 2 + 8} \right){e^{2 — 2}} = — 4.\)
Ответ: – 4.