Задача 18. Найдите наименьшее значение функции \(y = \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){e^{2 — x}}\) на отрезке \(\left[ {1;7} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {{x^2} — 8x + 8} \right)^\prime }{e^{2 — x}} + \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){\left( {{e^{2 — x}}} \right)^\prime } = \left( {2x — 8} \right){e^{2 — x}} + \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){e^{2 — x}} \cdot {\left( {2 — x} \right)^\prime } = \) \( = \left( {2x — 8} \right){e^{2 — x}} — \left( {{x^2} — 8x + 8} \right){e^{2 — x}} = {e^{2 — x}}\left( {2x — 8 — {x^2} + 8x — 8} \right) = {e^{2 — x}}\left( { — {x^2} + 10x — 16} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{2 — x}}\left( { — {x^2} + 10x — 16} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\, — {x^2} + 10x — 16 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = 2,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = 8.\) Значение \({x_2} = 8 \notin \left[ {1;7} \right].\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {1;7} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {1;7} \right]\) будет в точке \(x = 2.\) \(y\left( 2 \right) = \left( {{2^2} — 8 \cdot 2 + 8} \right){e^{2 — 2}} = — 4.\) Ответ: – 4.