Задача 22. Найдите наименьшее значение функции \(y = {\left( {x + 3} \right)^2}{e^{ — 3 — x}}\) на отрезке \(\left[ { — 5;\, — 1} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{ — 3 — x}} + {\left( {x + 3} \right)^2}{\left( {{e^{ — 3 — x}}} \right)^\prime } = 2\left( {x + 3} \right){e^{ — 3 — x}} + {\left( {x + 3} \right)^2}{e^{ — 3 — x}} \cdot {\left( { — 3 — x} \right)^\prime } = \) \( = 2\left( {x + 3} \right){e^{ — 3 — x}} — {\left( {x + 3} \right)^2}{e^{ — 3 — x}} = {e^{ — 3 — x}}\left( {x + 3} \right)\left( {2 — x — 3} \right) = {e^{ — 3 — x}}\left( {x + 3} \right)\left( { — x — 1} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{ — 3 — x}}\left( {x + 3} \right)\left( { — x — 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 3,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — 1.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 5; — 1} \right]\) и её поведение: Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 5; — 1} \right]\) будет в точке \(x = — 3.\) \(y\left( { — 3} \right) = {\left( { — 3 + 3} \right)^2}{e^{ — 3 + 3}} = 0.\) Ответ: 0.