Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {{{\left( {x + 6} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{ — 4 — x}} + {\left( {x + 6} \right)^2}{\left( {{e^{ — 4 — x}}} \right)^\prime } = 2\left( {x + 6} \right){e^{ — 4 — x}} + {\left( {x + 6} \right)^2}{e^{ — 4 — x}} \cdot {\left( { — 4 — x} \right)^\prime } = \)
\( = 2\left( {x + 6} \right){e^{ — 4 — x}} — {\left( {x + 6} \right)^2}{e^{ — 4 — x}} = {e^{ — 4 — x}}\left( {x + 6} \right)\left( {2 — x — 6} \right) = {e^{ — 4 — x}}\left( {x + 6} \right)\left( { — x — 4} \right).\)
Найдем нули производной:
\({e^{ — 4 — x}}\left( {x + 6} \right)\left( { — x — 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 6,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — 4.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 6; — 1} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 6; — 1} \right]\) будет в точке \(x = — 4.\)
\(y\left( { — 4} \right) = {\left( { — 4 + 6} \right)^2}{e^{ — 4 + 4}} = 4.\)
Ответ: 4.