Задача 23. Найдите наибольшее значение функции \(y = {\left( {x + 6} \right)^2}{e^{ — 4 — x}}\) на отрезке \(\left[ { — 6; — 1} \right]\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {{{\left( {x + 6} \right)}^2}} \right)^\prime }{e^{ — 4 — x}} + {\left( {x + 6} \right)^2}{\left( {{e^{ — 4 — x}}} \right)^\prime } = 2\left( {x + 6} \right){e^{ — 4 — x}} + {\left( {x + 6} \right)^2}{e^{ — 4 — x}} \cdot {\left( { — 4 — x} \right)^\prime } = \) \( = 2\left( {x + 6} \right){e^{ — 4 — x}} — {\left( {x + 6} \right)^2}{e^{ — 4 — x}} = {e^{ — 4 — x}}\left( {x + 6} \right)\left( {2 — x — 6} \right) = {e^{ — 4 — x}}\left( {x + 6} \right)\left( { — x — 4} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{ — 4 — x}}\left( {x + 6} \right)\left( { — x — 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1} = — 6,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = — 4.\) Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ { — 6; — 1} \right]\) и её поведение: Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке \(\left[ { — 6; — 1} \right]\) будет в точке \(x = — 4.\) \(y\left( { — 4} \right) = {\left( { — 4 + 6} \right)^2}{e^{ — 4 + 4}} = 4.\) Ответ: 4.