Область определения функции: \(x\, \in \,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\[y’ = {\left( {{e^{2x}}} \right)^\prime } — {\left( {6{e^x}} \right)^\prime } + 3′ = {e^{2x}} \cdot {\left( {2x} \right)^\prime } — 6{e^x} = 2{e^{2x}} — 6{e^x}.\]
Найдем нули производной:
\(2{e^{2x}} — 6{e^x} = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{e^x}\left( {2{e^x} — 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2{e^x} — 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = {\log _e}3.\)
Определим знаки производной функции на отрезке \(\left[ {1;2} \right]\) и её поведение:
Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке \(\left[ {1;2} \right]\) будет в точке \(x = {\log _e}3.\)
\(y\left( {{{\log }_e}3} \right) = {e^{2{{\log }_e}3}} — 6 \cdot {e^{{{\log }_e}3}} + 3 = {e^{{{\log }_e}9}} — 6 \cdot 3 + 3 = 9 — 18 + 3 = — 6.\)
Ответ: – 6.