Задача 4. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {25 — x} \right){e^{25 — x}}\)
Область определения функции: \(x\, \in \,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {25 — x} \right)^\prime }{e^{25 — x}} + \left( {25 — x} \right){\left( {{e^{25 — x}}} \right)^\prime } = — {e^{25 — x}} + \left( {25 — x} \right){e^{25 — x}} \cdot {\left( {25 — x} \right)^\prime } = \) \( = — {e^{25 — x}}-\left( {25 — x} \right){e^{25 — x}} = {e^{25 — x}}\left( { — 1 — 25 + x} \right) = {e^{25 — x}}\left( {x — 26} \right).\) Найдем нули производной: \({e^{25 — x}}\left( {x — 26} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x — 26 = 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 26.\) Определим знаки производной функции и её поведение: Следовательно, точка минимума \(x = 26.\) Ответ: 26.